O Brasil contabiliza, hoje, 52.815.464 alunos matriculados em todos os níveis e modalidades de ensino, nas redes pública e privada. Os dados, preliminares, são do Educacenso 2008, o Censo da Educação Básica, e foram publicados nesta quarta-feira, 29, no Diário Oficial da União. Esse número ainda pode mudar, já que algumas redes não enviaram a totalidade de suas informações. Também poderá haver correção de outras.
Embora os dados de 2007 mostrassem um número maior de matrículas – 53,2 milhões –, a taxa de atendimento não caiu, de acordo com o ministro da Educação, Fernando Haddad. “Uma coisa é a taxa de atendimento, outra são os valores absolutos de matrícula. A taxa vem crescendo e vai crescer ainda mais, principalmente porque tivemos um incremento no atendimento à pré-escola e aos alunos com deficiência”, explica. Haddad ainda enfatiza que o ensino fundamental tem aumentado pouco porque já está em um patamar elevado: cerca de 98% de atendimento.
O número absoluto de matrículas, segundo o ministro, sofre a interferência do chamado bônus demográfico, que se refere à quantidade de crianças e adolescentes que entram ou saem da faixa etária entre 0 e 17 anos. Dependendo do ano, a queda do número de pessoas nesta faixa vai de 500 mil a um milhão. “Essa é a fase que o Brasil vive neste momento. As matrículas devem se estabilizar num patamar menor e a questão da qualidade vai se impor com mais força, ou seja, o país é menos pressionado a ampliar vagas e mais pressionado a melhorar a qualidade”, ressalta.
A partir da publicação preliminar do Censo Escolar, o sistema será reaberto por 30 dias para que as redes corrijam ou complementem as informações declaradas. As escolas que não preencheram o Censo Escolar também poderão fazê-lo neste período. Os estados de São Paulo – que tem a maior rede escolar do país – e Goiás, por exemplo, não conseguiram migrar a tempo todas as informações para o banco de dados e devem enviar mais de 700 mil matrículas ao censo. Em seguida, o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixera (Inep) fará uma depuração do banco, para eliminar dupla contagem, inconsistência de dados ou cadastramento equivocado.
Após todas as correções, serão publicados os resultados consolidados do Censo da Educação Básica 2008, no início do próximo ano. Os dados consolidados são a base para as análises estatísticas do Inep e para o cálculo do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) e das médias do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem) por escola.
O censo é realizado anualmente pelo Inep em parceria com as secretarias municipais e estaduais de educação e com a participação das escolas públicas e privadas de todo o país. A exatidão das informações é fundamental também porque elas servem como base para o desenvolvimento de políticas públicas voltadas para a área da educação básica, incluindo a transferência de recursos públicos para alimentação e transporte escolar, distribuição de livros e uniformes, implantação de bibliotecas e execução de programas como o Dinheiro Direto na Escola e o aporte de recursos ao Fundo de Desenvolvimento da Educação Básica (Fundeb).
Fonte MEC
quinta-feira, 21 de maio de 2009
Alunos matriculados no ensino médio em 2009
Cresce 40% o número de matriculados no primeiro ano do ensino médio
Correio Web - 9 de fevereiro de 2009
Em apenas dois meses, o centro de ensino Gisno, na Asa Norte, ganhou 15 novas turmas de primeiro ano do ensino médio. Todas elas no período da tarde. Novos professores foram chamados e alguns, que davam aula no turno da manhã, aceitaram a troca. No Setor Oeste, na Asa Sul, não havia espaço para criar novas turmas: as 15 salas de aula já estavam ocupadas nos dois períodos. A solução foi aumentar a média de alunos por sala nas turmas de primeiro, segundo e terceiro anos. Em vez de 35 estudantes, até 39 por sala. Tudo para se adequar ao aumento de alunos do ensino médio.
A matrícula nas 620 escolas da rede pública de ensino esteve aberta até o início da noite de sexta-feira. O número de alunos no primeiro ano do antigo segundo grau subiu mais de 40%. Em 2008, foram 26.529 estudantes. Neste ano, 37.840 adolescentes estarão cursando a série inicial do ensino médio.
De acordo com Mara Gomes, que acompanhou todo o processo de telematrícula iniciado em outubro do ano passado, boa parte desses estudantes vieram da rede particular. "Da oitava série do ensino fundamental para o primeiro ano do ensino médio há um aumento significativo no valor das mensalidades. Com a crise, houve a migração de famílias de classe média para a rede pública."
A secretária-adjunta de Educação, Eunice Oliveira, completa: "Nos dois dias finais de matrícula conversei com muita gente na fila. Falei com vários pais que estavam trocando os filhos de escola por causa das dificuldades em assumir um compromisso tão significativo no orçamento familiar".
Com 15 anos, Gustavo Ribas Cruz vai estudar pela primeira vez em uma escola pública. Ele recomeça o primeiro ano do ensino médio no Gisno na próxima segunda-feira, depois de ter sido reprovado. A mãe decidiu tirar o filho do colégio no Lago Sul, onde ela trabalha. "Mesmo tendo desconto na mensalidade, o ensino é uma coisa cara e eu dou valor ao dinheiro. Ainda mais em tempos de crise. Nossa rotina é difícil demais para aceitar que meu filho não leve a educação a sério", observa.
"Até o ano passado, eram sete turmas matutinas de primeiro ano do ensino médio. Este ano, serão seis turmas pela manhã e outras 15 no período da tarde", comenta a supervisora pedagógica do Gisno, Glacione Maria de Lima. "Foi uma pequena ginástica, mas teremos turma e professor para todos."
Os números oficiais só devem ser totalizados no fim desta semana, mas, de acordo a diretora de Planejamento e Inspeção de Ensino, Solange Paiva, foi em Taguatinga que houve a maior migração. "A gente sabe pelas fichas preenchidas na hora da solicitação de matrícula", antecipa. De acordo com o secretário de Educação, José Luiz Valente, o aumento de 40% não pode ser contado todo como sendo migração de alunos. "Com o programa Aceleração, houve um grande número de alunos com distorção idade e série que passou para o ensino médio. Mas só teremos esses dados depois". Ele garante que a rede está preparada para a demanda, tanto em número de salas de aula como em professores.
No Setor Oeste, a procura maior foi pelas turmas de segundo e terceiro anos do ensino médio. De acordo com o diretor do colégio da Asa Sul, Júlio Gregório Filho, as turmas de primeiro ano foram todas usadas para absorver os estudantes do próprio sistema de ensino e não houve vaga para novos alunos da rede. "Nas outras séries, foi grande o número de novos alunos", afirma.
Olho na faculdade
Jasmim Faria Caetano, de 16 anos, é uma das novas alunas. Depois de cinco anos estudando na mesma escola particular da Asa Norte, a família decidiu que era hora de economizar. Jasmim vai para o terceiro ano. "Houve um acordo familiar para que ela pudesse fazer o curso de hotelaria, que só existe em uma faculdade particular", afirma o pai Luiz Antônio Aquino Caetano. Com as incertezas da economia, os pais ficaram temerosos de não conseguir pagar as mensalidades no ano que vem. Por isso, os R$ 650 por mês economizados com a ida de Jasmim para o Setor Oeste vão para uma poupança.
Além disso, a família vai poupar R$ 1.050 da filha mais velha, Luíza, 17 anos, que acaba de entrar na Universidade de Brasília depois de sair do terceiro ano em uma escola privada. "A melhor herança que a gente pode deixar para os filhos da gente é a boa formação. Mesmo com apertos, trabalhamos para que nossos filhos tenham uma educação de qualidade."
O Sindicato dos Estabelecimentos Particulares de Ensino do DF ainda não fez as contas de quanto as escolas privadas perderam com a migração. "Não fizemos um estudo, mas acho cedo para a crise chegar. Brasília é uma cidade de funcionários públicos que não sentem a crise de imediato", observa Alberto Araújo. De acordo com ele, as mensalidades das particulares ficaram entre 7% e 15% mais caras que as praticadas até dezembro.
Radiografia do sistema para evitar problemas
O ano letivo de 2009 começa hoje para quase 550 mil crianças e adolescentes da rede pública. Ao todo, 620 escolas espalhadas por todo o DF receberão os alunos para o início de 200 dias de aula. No último mês, a Secretaria de Educação fez uma radiografia do sistema para tentar antecipar os principais problemas que podem surgir nos primeiros dias. Mas a secretária-adjunta de Educação, Eunice Oliveira, admite: alguns são inevitáveis. É o caso do Centro de Ensino Fundamental de Queima Lençol, na região da Fercal. No fim do ano, a escola foi fechada pelo Ministério Público devido à quantidade de pó de cimento que os mais de 400 alunos estavam inalando. Todos foram transferidos para uma unidade em Sobradinho 2.
No início da tarde de sexta-feira, líderes comunitários da região avisaram por telefone para a assessoria do secretário José Luiz Valente que não deixarão os ônibus com as crianças seguirem para Sobradinho. Irritada com a distância de 15km para o novo colégio, a comunidade ameaça com a colocação de barricadas impedindo a saída dos veículos de Queima Lençol. Eunice Oliveira explica que um laudo técnico realizado pelo MP indicou que há odor desagradável oriundo da fábrica de cimento.
Além de Queima Lençol, a Secretaria estará monitorando os pedidos de remanejamento. Os pedidos de mudança de escola causaram tumulto nas regionais de ensino na semana passada. "Tememos que os pais queiram fazer as mudanças logo no primeiro dia. Não é preciso, porque o período vai até o fim da segunda semana de aula", garante Eunice. Por fim , haverá o controle da possível falta de professores. "Temos que acionar o banco de substitutos à medida que formos descobrindo as ausências para que ninguém fique sem aula." Do ponto de vista da segurança dos alunos e do controle de trânsito, continua em atividade a operação Volta às Aulas, sob comando do Batalhão de Trânsito, do Batalhão Escolar e do Detran.
Número de alunos no ensino médio diminui 137 mil em relação a 2004
Jornal do Brasil - Demétrio Weber | 10.11.2005 | 15h35
O número de alunos matriculados no ensino médio, em todo o país, diminuiu em 137 mil este ano, na comparação com 2004. É o que mostram dados preliminares do Censo Escolar 2005. O Ministério da Educação (MEC) divulgou que São Paulo liderou a queda, registrando 131 mil matrículas a menos.
No ensino fundamental, a redução do número de estudantes foi de 483 mil. Em cidades da Bahia, a queda atingiu até 51%, como é o caso de Catolândia. O MEC informou, porém, que houve acréscimo de 240 mil alunos na educação de jovens e adultos e no ensino profissional de nível técnico.
Os resultados finais do Censo Escolar 2005 serão divulgados até janeiro. Prefeituras e governos estaduais tiveram prazo para contestar os dados preliminares. O MEC suspeita que parte das matrículas reduzidas seja, na verdade, relativa a alunos fantasmas que teriam sido incluídos nos censos de anos anteriores para aumentar a arrecadação dos municípios. Isso porque os repasses federais são feitos com base no número de alunos.
O ministro Fernando Haddad evita acusar prefeitos publicamente de fraude, mas admite que há algo estranho: — Não chego a tanto (afirmar que houve fraude). Mas diria que há erros que estão sendo corrigidos. A diminuição das matrículas de 1 a 4 série ocorre desde 2000, segundo o MEC. A mesma tendência vem sendo observada desde 2003 entre os alunos de 5 a 8 série.
A novidade este ano foi a redução nas matrículas do ensino médio, mas mesmo isso já era previsto, segundo o Inep. Haddad afirmou que os motivos são as menores taxas de natalidade na população brasileira e a chamada correção de fluxo, isto é, a melhoria nas taxas de aprovação dos estudantes. Ele negou que o problema seja causado por evasão.
No Brasil, as escolas atendem a um número de alunos maior do que a população na respectiva faixa etária. Isso porque é grande o número de estudantes que já deveriam ter concluído o curso, mas repetem a série ou abandonam os estudos e retornam no ano seguinte.
Fonte MEC
Correio Web - 9 de fevereiro de 2009
Em apenas dois meses, o centro de ensino Gisno, na Asa Norte, ganhou 15 novas turmas de primeiro ano do ensino médio. Todas elas no período da tarde. Novos professores foram chamados e alguns, que davam aula no turno da manhã, aceitaram a troca. No Setor Oeste, na Asa Sul, não havia espaço para criar novas turmas: as 15 salas de aula já estavam ocupadas nos dois períodos. A solução foi aumentar a média de alunos por sala nas turmas de primeiro, segundo e terceiro anos. Em vez de 35 estudantes, até 39 por sala. Tudo para se adequar ao aumento de alunos do ensino médio.
A matrícula nas 620 escolas da rede pública de ensino esteve aberta até o início da noite de sexta-feira. O número de alunos no primeiro ano do antigo segundo grau subiu mais de 40%. Em 2008, foram 26.529 estudantes. Neste ano, 37.840 adolescentes estarão cursando a série inicial do ensino médio.
De acordo com Mara Gomes, que acompanhou todo o processo de telematrícula iniciado em outubro do ano passado, boa parte desses estudantes vieram da rede particular. "Da oitava série do ensino fundamental para o primeiro ano do ensino médio há um aumento significativo no valor das mensalidades. Com a crise, houve a migração de famílias de classe média para a rede pública."
A secretária-adjunta de Educação, Eunice Oliveira, completa: "Nos dois dias finais de matrícula conversei com muita gente na fila. Falei com vários pais que estavam trocando os filhos de escola por causa das dificuldades em assumir um compromisso tão significativo no orçamento familiar".
Com 15 anos, Gustavo Ribas Cruz vai estudar pela primeira vez em uma escola pública. Ele recomeça o primeiro ano do ensino médio no Gisno na próxima segunda-feira, depois de ter sido reprovado. A mãe decidiu tirar o filho do colégio no Lago Sul, onde ela trabalha. "Mesmo tendo desconto na mensalidade, o ensino é uma coisa cara e eu dou valor ao dinheiro. Ainda mais em tempos de crise. Nossa rotina é difícil demais para aceitar que meu filho não leve a educação a sério", observa.
"Até o ano passado, eram sete turmas matutinas de primeiro ano do ensino médio. Este ano, serão seis turmas pela manhã e outras 15 no período da tarde", comenta a supervisora pedagógica do Gisno, Glacione Maria de Lima. "Foi uma pequena ginástica, mas teremos turma e professor para todos."
Os números oficiais só devem ser totalizados no fim desta semana, mas, de acordo a diretora de Planejamento e Inspeção de Ensino, Solange Paiva, foi em Taguatinga que houve a maior migração. "A gente sabe pelas fichas preenchidas na hora da solicitação de matrícula", antecipa. De acordo com o secretário de Educação, José Luiz Valente, o aumento de 40% não pode ser contado todo como sendo migração de alunos. "Com o programa Aceleração, houve um grande número de alunos com distorção idade e série que passou para o ensino médio. Mas só teremos esses dados depois". Ele garante que a rede está preparada para a demanda, tanto em número de salas de aula como em professores.
No Setor Oeste, a procura maior foi pelas turmas de segundo e terceiro anos do ensino médio. De acordo com o diretor do colégio da Asa Sul, Júlio Gregório Filho, as turmas de primeiro ano foram todas usadas para absorver os estudantes do próprio sistema de ensino e não houve vaga para novos alunos da rede. "Nas outras séries, foi grande o número de novos alunos", afirma.
Olho na faculdade
Jasmim Faria Caetano, de 16 anos, é uma das novas alunas. Depois de cinco anos estudando na mesma escola particular da Asa Norte, a família decidiu que era hora de economizar. Jasmim vai para o terceiro ano. "Houve um acordo familiar para que ela pudesse fazer o curso de hotelaria, que só existe em uma faculdade particular", afirma o pai Luiz Antônio Aquino Caetano. Com as incertezas da economia, os pais ficaram temerosos de não conseguir pagar as mensalidades no ano que vem. Por isso, os R$ 650 por mês economizados com a ida de Jasmim para o Setor Oeste vão para uma poupança.
Além disso, a família vai poupar R$ 1.050 da filha mais velha, Luíza, 17 anos, que acaba de entrar na Universidade de Brasília depois de sair do terceiro ano em uma escola privada. "A melhor herança que a gente pode deixar para os filhos da gente é a boa formação. Mesmo com apertos, trabalhamos para que nossos filhos tenham uma educação de qualidade."
O Sindicato dos Estabelecimentos Particulares de Ensino do DF ainda não fez as contas de quanto as escolas privadas perderam com a migração. "Não fizemos um estudo, mas acho cedo para a crise chegar. Brasília é uma cidade de funcionários públicos que não sentem a crise de imediato", observa Alberto Araújo. De acordo com ele, as mensalidades das particulares ficaram entre 7% e 15% mais caras que as praticadas até dezembro.
Radiografia do sistema para evitar problemas
O ano letivo de 2009 começa hoje para quase 550 mil crianças e adolescentes da rede pública. Ao todo, 620 escolas espalhadas por todo o DF receberão os alunos para o início de 200 dias de aula. No último mês, a Secretaria de Educação fez uma radiografia do sistema para tentar antecipar os principais problemas que podem surgir nos primeiros dias. Mas a secretária-adjunta de Educação, Eunice Oliveira, admite: alguns são inevitáveis. É o caso do Centro de Ensino Fundamental de Queima Lençol, na região da Fercal. No fim do ano, a escola foi fechada pelo Ministério Público devido à quantidade de pó de cimento que os mais de 400 alunos estavam inalando. Todos foram transferidos para uma unidade em Sobradinho 2.
No início da tarde de sexta-feira, líderes comunitários da região avisaram por telefone para a assessoria do secretário José Luiz Valente que não deixarão os ônibus com as crianças seguirem para Sobradinho. Irritada com a distância de 15km para o novo colégio, a comunidade ameaça com a colocação de barricadas impedindo a saída dos veículos de Queima Lençol. Eunice Oliveira explica que um laudo técnico realizado pelo MP indicou que há odor desagradável oriundo da fábrica de cimento.
Além de Queima Lençol, a Secretaria estará monitorando os pedidos de remanejamento. Os pedidos de mudança de escola causaram tumulto nas regionais de ensino na semana passada. "Tememos que os pais queiram fazer as mudanças logo no primeiro dia. Não é preciso, porque o período vai até o fim da segunda semana de aula", garante Eunice. Por fim , haverá o controle da possível falta de professores. "Temos que acionar o banco de substitutos à medida que formos descobrindo as ausências para que ninguém fique sem aula." Do ponto de vista da segurança dos alunos e do controle de trânsito, continua em atividade a operação Volta às Aulas, sob comando do Batalhão de Trânsito, do Batalhão Escolar e do Detran.
Número de alunos no ensino médio diminui 137 mil em relação a 2004
Jornal do Brasil - Demétrio Weber | 10.11.2005 | 15h35
O número de alunos matriculados no ensino médio, em todo o país, diminuiu em 137 mil este ano, na comparação com 2004. É o que mostram dados preliminares do Censo Escolar 2005. O Ministério da Educação (MEC) divulgou que São Paulo liderou a queda, registrando 131 mil matrículas a menos.
No ensino fundamental, a redução do número de estudantes foi de 483 mil. Em cidades da Bahia, a queda atingiu até 51%, como é o caso de Catolândia. O MEC informou, porém, que houve acréscimo de 240 mil alunos na educação de jovens e adultos e no ensino profissional de nível técnico.
Os resultados finais do Censo Escolar 2005 serão divulgados até janeiro. Prefeituras e governos estaduais tiveram prazo para contestar os dados preliminares. O MEC suspeita que parte das matrículas reduzidas seja, na verdade, relativa a alunos fantasmas que teriam sido incluídos nos censos de anos anteriores para aumentar a arrecadação dos municípios. Isso porque os repasses federais são feitos com base no número de alunos.
O ministro Fernando Haddad evita acusar prefeitos publicamente de fraude, mas admite que há algo estranho: — Não chego a tanto (afirmar que houve fraude). Mas diria que há erros que estão sendo corrigidos. A diminuição das matrículas de 1 a 4 série ocorre desde 2000, segundo o MEC. A mesma tendência vem sendo observada desde 2003 entre os alunos de 5 a 8 série.
A novidade este ano foi a redução nas matrículas do ensino médio, mas mesmo isso já era previsto, segundo o Inep. Haddad afirmou que os motivos são as menores taxas de natalidade na população brasileira e a chamada correção de fluxo, isto é, a melhoria nas taxas de aprovação dos estudantes. Ele negou que o problema seja causado por evasão.
No Brasil, as escolas atendem a um número de alunos maior do que a população na respectiva faixa etária. Isso porque é grande o número de estudantes que já deveriam ter concluído o curso, mas repetem a série ou abandonam os estudos e retornam no ano seguinte.
Fonte MEC
quarta-feira, 20 de maio de 2009
..:: A História da Matemática ::..
ABAIXO TODA A HISTÓRIA DA MATEMATICA DESDE SEUS PRINCIPIOS!
Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas com uma razão de existirem. Teorias das mais complexas contadas pelos matemáticos mais extraordinários sobrevoaram a mente humana de como a Matemática foi criada.
Essa ciência difícil e com complexidades pós o conhecimento humano foi criada a partir dos primeiros seres racionais há milhões de anos dos Homo Sapiens. Ela foi criada com o intuito de inventar uma lei sobre todas as quais ela é soberana e determina o possível e o impossível com uma questão de lógica. Essa lógica serviu para os primeiros raciocínios, desde trocas à vendas, de que nossos ancestrais necessitavam.
Até mesmo hoje, ela supera todas as ciências em necessidade humana, chegando até a superar a necessidade de se comunicar por meio de um idioma compreensível de tal região.
A Matemática foi, é, e será uma grande necessidade humana. Nossos ancestrais também necessitavam de conhecimento dentre os quais poderiam se comunicar, comerciar e trocar. Desde aí, os princípios básicos do início da Matemática foram se aperfeiçoando.
Poucos milênios a.C. a inteligência humana se desenvolveu mais, e a necessidade de uma ciência complicada para resolver desde os mais simples problemas até grandes vendas também.
Os grandes matemáticos surgiram antes de Cristo e depois de Cristo, inventando novas fórmulas, soluções e cálculos.
A inteligência do homem era algo tão magnífico, que a Matemática evoluiu mais rápido do que as próprias conclusões e provas matemáticas do homem.
Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada, potência, frações, razões, eqüações, ineqüações, termos, leis, conjuntos, etc, todos esses princípios e centenas de milhares de outros estavam dentro da ciência complexa, difícil, explicável e lógica que se chamava Matemática. Antigos acreditavam que a soma de duas unidades de algo, somado a mais outras duas unidades de algo, daria cinco. Comprovado pela matemática de sumérios, uma vida e tanto do garoto e seu biscoito.
Os primeiros grandes astrônomos e filósofos deram o essencial a essa complexidade. Vários povos se destacaram, como os egípcios, sumérios, babilônios e gregos. Grandes mentes surgiram e inventaram outros princípios mais complexos e mais difíceis.
Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia.
Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.
Na Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.
Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.
A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.
Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.
As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.
Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".
Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).
Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.
No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.
Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.
A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.
Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.
Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.
Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".
Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.
Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.
Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).
A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.
No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.
Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.
É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.
Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".
Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.
A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.
Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.
Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.
Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.
Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.
Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.
O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.
A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.
Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.
Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.
Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........
supondo que se tenha um nº infinito de termos.
Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados contraditórios.
Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.
Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.
Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.
Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.
Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.
A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.
Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.
Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?
Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.
À medida em que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.
No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.
O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.
Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.
R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".
Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.
A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas.
Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.
Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.
Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".
A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.
A Ciência dos Gregos
Se nos fosse possível voltar à época de 640 a.C., na então florescente cidade de Mileto encontraríamos um próspero comerciante, já muito famoso, por, entre outras coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de 585 a.C.
Chama-se Tales, e foi posteriormente incluído entre os denominados "sete sábios da Antiguidade". Sendo comerciante, teve oportunidade de tomar contacto com a matemática dos egípcios.
A matemática egípcia tinha um caráter eminentemente prático; não era formada por um corpo de conhecimentos interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos.
Um dos poucos fragmentos de que dispomos dos conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham no denominado papiro de Rhind, de autoria do escriba Ahmes.
Esse papiro é a assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo.
Em tal papiro encontramos as seguintes palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para saber todas as coisas obscuras".
Euclides
Pouco se sabe com certeza da vida de Euclides.
Sabemos que viveu em Bizâncio entre os anos de 485 a 410 a.C.
Nesse tempo, o sábio Ptolomeu I, sucedia a Alexandre Magno no trono do Egito. Sob seus cuidados, surgiu em Alexandria uma instituição, denominada "Museu", que congregava a maioria dos sábios da época. O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências residenciais, salas de aula, e de conferências, e o que é mais importante — a maior biblioteca da época.
Euclides foi o primeiro diretor do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de "Os Elementos'.
"Os Elementos" é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.
O primeiro livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo, sua ordenção, serviram de normas diretoras para todas as outras obras posteriores da matemática. Os princípios dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os postulados e os entes primitivos.
As definições são, no ínicio, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120. Por exemplo, no primeiro livro, encontramos as seguintes definições:
"Ponto é aquilo que não tem partes"
"Reta é o comprimento sem espessura"
"Superfície é o que tem unicamente comprimento e largura"
"Retas paralelas são aquela que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao serem prolongadas indefinidamente".
Essas definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides. Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides.
Os sucessos de Euclides
Depois de Euclides, dois matemáticos de gabariot apareceram em Alexandria: Apolônio e Arquimedes, sendo este último considerado uma das maiores personagens da Antiguidade.
É interessante notar-se que tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem às mesmas.
Apolônio, dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas.
A razão desta denominação é que tais curvas resultam de um corte conveniente do cone. Dependendo da maneira como cortamos o cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou uma parábola, ou ainda uma hipérbole. As curvas cônicas desepenham papel relevante na física e na matemática atual. As órbitas do planetas são elipses, a trajetória dos foguetes balísticos são parábolas, os espelhos dos telescópios são parabólicos, etc.
Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em virtude de sua sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos dizer que Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega. Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos com um verdadeiro gênio — Arquimedes de Sirascusa.
Arquimedes — O "Newton" grego
Arquimedes nasceu na cidade de Siracusa no ano 287 a.C., descendente da família real. Embora da época tão remota podemos considerar Arquimedes como um moderno em pesamento. Realmente podemos equipará-lo com o genial físico e matemático inglês Isaac Newton.
Arquimedes não foi só matemático, mas também iventor. Seus inventos eram baseados no que hoje chamamos de máquinas simples — alavancas, roldanas, sarilhos. É famosa a sua afirmação (querendo ressaltar os efeitos de uma alvanca):
"Dai-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo".
Arquimedes construiu muitos engenhos de guerra, através dos quais a sua cidade, Siracusa, conseguiu resistir às hostes romanas durante mais de dois anos. Sabe-se que Arquimedes incendiou e destruiu uma esquadra romana, usando espelhos parabólicas. Aida é sua descoberta o "parafuso sem fim", o qual utiliza para elevação da água.
Um problema onde Arquimedes mostrou toda a sua habilidade como matemático foi, sem dúvida, aquele para se calcular a àrea de um círculo de raio R.
Para isso ele usou um raciocínio que só mais tarde (1600 a 1700 d.C.) iria ser utilizado por Newton e Leibniz na invenção do cálculo infinitesimal.
Seja S a área do círculo. Dividimos tal círculo em número muito grande de partes iguais (por meio de triângulos). Obtemos assim um polígono cuja área A é menor que S (área do círculo). Coloquem-se agora tais triângulos sobre uma reta.
O segmento AB tem para medida um número que chamaremos de P. P é o menor que o comprimento de C da circunferência do círculo.
Com esta tira de triângulos podemos formar um "retângulo" de altura R (aproximadamente) e base 1/2P, obtido dobrando-a ao meio (para um número finito de triângulos, temos um paralelogramo).
A área desse "retângulo" é A e é menor que S.
A área de A se aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se o número n de divisões for infinito, a área A coincidirá com S e o comprimento P coincidira com c.
Um outro problema que sempre apaixonou Arquimedes, e que, segundo ele, era "o mais difícil", foi o de encontrar a relação entre o volume do cone, da esfera e do cilindro, um colocado dentro do outro (cone e cilindro equiláteros, inscrito e excrito na esfera)
Uma famosa descoberta de Arquimedes é o conhecido "Princípio de Arquimedes", da hidrostática, que diz:
" Todo corpo imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical (de baixo para cima) em intensidade igual ao volume deslocado do fluido".
Conta a lenda (narrada posteriormente pelo arquiteto romano vitrúvio) que Arquimedes descobriu tal princípio enquanto tomava banho, e que saiu gritando pelas ruas — "Eureka, Eureka! que quer dizer "Achei"!
Os egípcios criam os símbolos
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Contando com os egípcios
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:
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Os papiros da Matemática egípcia
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:
Número de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações.
As complicadas frações egípcias
Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
Contando com os romanos
De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?
O sistema de numeração romano
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L C D M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
Os milhares Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Afinal os nossos números
No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
“Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”. A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos?
Os árabes divulgam ao mundo os números hindus
Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. “Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.
Os números racionais
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872 Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
Matemática é uma ciência que foi criada a fim de contar e resolver problemas com uma razão de existirem. Teorias das mais complexas contadas pelos matemáticos mais extraordinários sobrevoaram a mente humana de como a Matemática foi criada.
Essa ciência difícil e com complexidades pós o conhecimento humano foi criada a partir dos primeiros seres racionais há milhões de anos dos Homo Sapiens. Ela foi criada com o intuito de inventar uma lei sobre todas as quais ela é soberana e determina o possível e o impossível com uma questão de lógica. Essa lógica serviu para os primeiros raciocínios, desde trocas à vendas, de que nossos ancestrais necessitavam.
Até mesmo hoje, ela supera todas as ciências em necessidade humana, chegando até a superar a necessidade de se comunicar por meio de um idioma compreensível de tal região.
A Matemática foi, é, e será uma grande necessidade humana. Nossos ancestrais também necessitavam de conhecimento dentre os quais poderiam se comunicar, comerciar e trocar. Desde aí, os princípios básicos do início da Matemática foram se aperfeiçoando.
Poucos milênios a.C. a inteligência humana se desenvolveu mais, e a necessidade de uma ciência complicada para resolver desde os mais simples problemas até grandes vendas também.
Os grandes matemáticos surgiram antes de Cristo e depois de Cristo, inventando novas fórmulas, soluções e cálculos.
A inteligência do homem era algo tão magnífico, que a Matemática evoluiu mais rápido do que as próprias conclusões e provas matemáticas do homem.
Adição, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada, potência, frações, razões, eqüações, ineqüações, termos, leis, conjuntos, etc, todos esses princípios e centenas de milhares de outros estavam dentro da ciência complexa, difícil, explicável e lógica que se chamava Matemática. Antigos acreditavam que a soma de duas unidades de algo, somado a mais outras duas unidades de algo, daria cinco. Comprovado pela matemática de sumérios, uma vida e tanto do garoto e seu biscoito.
Os primeiros grandes astrônomos e filósofos deram o essencial a essa complexidade. Vários povos se destacaram, como os egípcios, sumérios, babilônios e gregos. Grandes mentes surgiram e inventaram outros princípios mais complexos e mais difíceis.
Por volta dos séculos IX e VIII A.C., a matemática engatinhava na Babilônia.
Os babilônios e os egípcios já tinham uma álgebra e uma geometria, mas somente o que bastasse para as suas necessidades práticas, e não de uma ciência organizada.
Na Babilônia, a matemética era cultivada entre os escrivas responsáveis pelos tesouros reais.
Apesar de todo material algébrico que tinham os babilônios e egípcios, só podemos encarar a matemática como ciência, no sentido moderno da palavra, a partir dos séculos VI e V A.C., na Grécia.
A matemática grega se distingue da babilônica e egípcia pela maneira de encará-la.
Os gregos fizeram-na uma ciência propriamente dita sem a preocupação de suas aplicações práticas.
Do ponto de vista de estrutura, a matemática grega se distingue da anterior, por ter levado em conta problemas relacionados com processos infinitos, movimento e continuidade.
As diversas tentativas dos gregos de resolverem tais problemas fizeram com que aparecesse o método axiomático-dedutivo.
O método axiomático-dedutivo consiste em admitir como verdadeiras certas preposições (mais ou menos evidentes) e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico, chegar a proposições mais gerais.
As dificuldades com que os gregos depararam ao estudar os problemas relativos a processos infinitos (sobretudo problemas sobre números irracionais) talvez sejam as causas que os desviaram da álgebra, encaminhando-os em direção à geometria.
Realmente, é na geometria que os gregos se destacam, culminando com a obra de Euclides, intitulada "Os Elementos".
Sucedendo Euclides, encontramos os trabalhos de Arquimedes e de Apolônio de Perga.
Arquimedes desenvolve a geometria, introduzindo um novo método, denominado "método de exaustão", que seria um verdadeiro germe do qual mais tarde iria brotar um importante ramo de matemática (teoria dos limites).
Apolônio de Perga, contemporâneo de Arquimedes, dá início aos estudos das denominadas curvas cônicas: a elipse, a parábola, e a hipérbole, que desempenham, na matemática atual, papel muito importante.
No tempo de Apolônio e Arquimedes, a Grécia já deixara de ser o centro cultural do mundo. Este, por meio das conquistas de Alexandre, tinha-se transferido para a cidade de Alexandria.
Depois de Apolônio e Arquimedes, a matemática graga entra no seu ocaso.
A 10 de dezembro de 641, cai a cidade de Alexandria sob a verde bandeira de Alá. Os exércitos árabes, então empenhados na chamada Guerra Santa, ocupam e destroem a cidade, e com ela todas as obras dos gregos. A ciência dos gregos entra em eclipse.
Mas a cultura helênica era bem forte para sucumbir de um só golpe; daí por diante a matemática entra num estado latente.
Os árabes, na sua arremetida, conquistam a Índia encontrando lá um outro tipo de cultura matemática: a Álgebra e a Aritmética.
Os hindus introduzem um símbolo completamente novo no sistema de numeração até então conhecido: o ZERO.
Isto causa uma verdadeira revolução na "arte de calcular".
Dá-se início à propagação da cultura dos hindus por meio dos árabes. Estes levam à Europa os denominados "Algarismos arábicos", de invenção dos hindus.
Um dos maiores propagadores da matemática nesse tempo foi, sem dúvida, o árabe Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, de cujo nome resultaram em nossa língua as palavras algarismos e Algoritmo.
Alehwrizmi propaga a sua obra, "Aldschebr Walmakabala", que ao pé da letra seria: restauração e confonto. (É dessa obra que se origina o nome Álgebra).
A matemática, que se achava em estado latente, começa a se despertar.
No ano 1202, o matemático italiano Leonardo de Pisa, cognominado de "Fibonacci" ressuscita a Matemática na sua obra intitulada "Leber abaci" na qual descreve a "arte de calcular" (Aritmética e Álgebra). Nesse livro Leonardo apresenta soluções de equações do 1º, 2º e 3º graus.
Nessa época a Álgebra começa a tomar o seu sapecto formal. Um monge alemão. Jordanus Nemorarius já começa a utilizar letras para significar um número qualquer, e ademais introduz os sinais de + (mais) e - (menos) sob a forma das letras p (plus = mais) e m (minus = menos).
Outro matemático alemão, Michael Stifel, passa a utilizar os sinais de mais (+) e menos (-), como nós os utilizamos atualmente.
É a álgebra que nasce e se põe em franco desenvolvimento.
Tal desenvolvimento é finalmente consolidado na obra do matemático francês, François Viete, denominada "Algebra Speciosa".
Nela os símbolos alfabéticos têm uma significação geral, podendo designar números, segmentos de retas, entes geométricos etc.
No século XVII, a matemática toma nova forma, destacando-se de início René Descartes e Pierre Fermat.
A grande descoberta de R. Descartes foi sem dúvida a "Geometria Analítica" que, em síntese, consiste nas aplicações de métodos algébricos à geometria.
Pierre Fermat era um advogado que nas horas de lazer se ocupava com a matemática.
Desenvolveu a teoria dos números primos e resolveu o importante problema do traçado de uma tangente a uma curva plana qualquer, lançando assim, sementes para o que mais tarde se iria chamar, em matemática, teoria dos máximos e mínimos.
Vemos assim no século XVII começar a germinar um dos mais importantes ramos da matemática, conhecido como Análise Matemática.
Ainda surgem, nessa época, problemas de Física: o estudo do movimento de um corpo, já anteriormente estudados por Galileu Galilei.
Tais problemas dão origens a um dos primeiros descendentes da Análise: o Cálculo Diferencial.
O Cálculo Diferencial aparece pela primeira vez nas mãos de Isaac Newton (1643-1727), sob o nome de "cálculo das fluxões", sendo mais tarde redescoberto independentemente pelo matemático alemão Gottfried Wihelm Leibniz.
A Geometria Analítica e o Cálculo dão um grande impulso à matemática.
Seduzidos por essas novas teorias, os matemáticos dos séculos XVII e XVIII, corajosa e despreocupadamente se lançam a elaborar novas teorias analíticas.
Mas nesse ímpeto, eles se deixaram levar mais pela intuição do que por uma atitude racional no desenvolvimento da ciência.
Não tardaram as consequências de tais procedimentos, começando por aparecer contradições.
Um exemplo clássico disso é o caso das somas infinitas, como a soma abaixo:
S = 3 - 3 + 3 - 3 + 3...........
supondo que se tenha um nº infinito de termos.
Se agruparmos as parcelas vizinhas teremos:
S = (3 - 3) + (3 - 3) + ...........= 0 + 0 +.........= 0
Se agruparmos as parcelas vizinhas, mas a partir da 2ª, não agrupando a primeira:
S = 3 + ( - 3 + 3) + ( - 3 + 3) + ...........= 3 + 0 + 0 + ......... = 3
O que conduz a resultados contraditórios.
Esse "descuido" ao trabalhar com séries infinitas era bem característicos dos matemáticos daquela época, que se acharam então num "beco sem saída'.
Tais fatos levaram, no ocaso do século XVIII, a uma atitude crítica de revisão dos fatos fundamentais da matemática.
Pode-se afirmar que tal revisão foi a "pedra angular" da matemática.
Essa revisão se inicia na Análise, com o matemático francês Louis Cauchy (1789 - 1857), professor catedrático na Faculdade de Ciências de Paris.
Cauchy realizou notáveis trabalhos, deixando mais de 500 obras escritas, das quais destacamos duas na Análise: "Notas sobre o desenvolvimento de funções em séries" e "Lições sobre aplicação do cálculo à geometria".
Paralelamente, surgem geometrias diferentes da de Euclides, as denominadas Geometrias não euclidianas.
Por volta de 1900, o método axiomático e a Geometria sofrem a influência dessa atitude de revisão crítica, levada a efeito por muitos matemáticos, dentre os quais destacamos D. Hilbert, com sua obra "Fundamentos da Geometria" ("Grudlagen der Geometrie" título do original), publicada em 1901.
A Álgebra e a Aritmética tomam novos impulsos.
Um problema que preocupava os matemáticos era o da possibilidade ou não da solução de equações algébricas por meio de fórmulas que aparecessem com radicais.
Já se sabia que em equações do 2º e 3º graus isto era possível; daí surgiu a seguinte questão: será que as equações do 4º graus em diante admitem soluções por meio de radicais?
Em trabalhos publicados por volta de 1770, Lagrange (1736 - 1813) e Vandermonde (1735-96) iniciaram estudos sistemáticos dos métodos de resolução.
À medida em que as pesquisas se desenvolviam no sentido de achar tal tipo de resolução, ia se evidenciando que isso não era possível.
No primeiro terço do século XIX, Niels Abel (1802-29) e Evariste de Galois (1811-32) resolvem o problema, demonstrando que as equações do quarto e quinto grau em diante não podiam ser resolvidas por radicais.
O trabalho de Galois, somente publicado em 1846, deu origem a chamada "teoria dos grupos" e à denominada "Álgebra Moderna", dando também grande impulso à teoria dos números.
Com respeito à teoria dos números não nos podemos esquecer das obras de R. Dedekind e Gorg Cantor.
R. Dedekind define os números irracionais pela famosa noção de "Corte".
Georg Cantor dá início à chamada Teoria dos conjuntos, e de maneira arrojada aborda a noção de infinito, revolucionando-a.
A partir do século XIX a matemática começa então a se ramificar em diversas disciplinas, que ficam dada vez mais abstratas.
Atualmente se desenvolvem tais teorias abstratas, que se subdividem em outras disciplinas.
Os entendidos afirmam que estamos em plena "idade de ouro" da Matemática, e que neste últimos cinquenta anos tem se criado tantas disciplinas, novas matemáticas, como se haviam criado nos séculos anteriores.
Esta arremetida em direção ao "Abstrato", ainda que não pareça nada prática, tem por finalidade levar adiante a "Ciência".
A história tem mostrado que aquilo que nos parece pura abstração, pura fantasia matemática, mais tarde se revela como um verdadeiro celeiro de aplicações práticas.
A Ciência dos Gregos
Se nos fosse possível voltar à época de 640 a.C., na então florescente cidade de Mileto encontraríamos um próspero comerciante, já muito famoso, por, entre outras coisas, ter predito um eclipse ocorrido em maio de 585 a.C.
Chama-se Tales, e foi posteriormente incluído entre os denominados "sete sábios da Antiguidade". Sendo comerciante, teve oportunidade de tomar contacto com a matemática dos egípcios.
A matemática egípcia tinha um caráter eminentemente prático; não era formada por um corpo de conhecimentos interligados, mas sim, por conhecimentos esparsos.
Um dos poucos fragmentos de que dispomos dos conhecimentos matemáticos dos egípcios se acham no denominado papiro de Rhind, de autoria do escriba Ahmes.
Esse papiro é a assim chamado em honra a um antiquário escocês que o comprou em 1858 de um mercador da cidade de Luxor, às margens do Nilo.
Em tal papiro encontramos as seguintes palavras (sobre o objetivo mesmo): "direção para saber todas as coisas obscuras".
Euclides
Pouco se sabe com certeza da vida de Euclides.
Sabemos que viveu em Bizâncio entre os anos de 485 a 410 a.C.
Nesse tempo, o sábio Ptolomeu I, sucedia a Alexandre Magno no trono do Egito. Sob seus cuidados, surgiu em Alexandria uma instituição, denominada "Museu", que congregava a maioria dos sábios da época. O Museu foi erigido ao lado do palácio real, tinha dependências residenciais, salas de aula, e de conferências, e o que é mais importante — a maior biblioteca da época.
Euclides foi o primeiro diretor do Museu, e, graças a isso, pode organizar os resultados obtidos por matemáticos anteriores (Tales, Pitágoras, Eudoxo e outros).Tal organização se acha em sua imortal obra, modestamente intitulada de "Os Elementos'.
"Os Elementos" é um conjunto de 13 livros dedicados ao fundamento e desenvolvimento lógico e sistemático da geometria.
O primeiro livro trata das questões que são fundamentais para a geometria, e o seu estilo, sua ordenção, serviram de normas diretoras para todas as outras obras posteriores da matemática. Os princípios dos quais parte Euclides para edificar a geometria são as definições, os postulados e os entes primitivos.
As definições são, no ínicio, em número de 23, e ao todo, no texto, atingem 120. Por exemplo, no primeiro livro, encontramos as seguintes definições:
"Ponto é aquilo que não tem partes"
"Reta é o comprimento sem espessura"
"Superfície é o que tem unicamente comprimento e largura"
"Retas paralelas são aquela que, estando em um mesmo plano, não se encontram ao serem prolongadas indefinidamente".
Essas definições, agora nos parecem um tanto ingênuas e despidas de rigor lógico, mas tenhamos em conta a época em que foram escritas e o pioneirismo de Euclides. Adotando em seguida 10 postulados Euclides deduz seus teoremas. A partir do dia de seu aparecimento "Os Elementos" se tornou a obra clássica da Geometria, e de tal modo foi difundida que chegou a sobrepujar o seu autor, a ponto de, na Idade Média, se negar a existência física de Euclides.
Os sucessos de Euclides
Depois de Euclides, dois matemáticos de gabariot apareceram em Alexandria: Apolônio e Arquimedes, sendo este último considerado uma das maiores personagens da Antiguidade.
É interessante notar-se que tanto Apolônio como Arquimedes fizeram suas investigações matemáticas dentro de um espírito platônico, isto é, na mais alta abstração dos fatos concretos que deram origem às mesmas.
Apolônio, dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas.
A razão desta denominação é que tais curvas resultam de um corte conveniente do cone. Dependendo da maneira como cortamos o cone, resultará uma circunferência de círculo ou uma elipse, ou uma parábola, ou ainda uma hipérbole. As curvas cônicas desepenham papel relevante na física e na matemática atual. As órbitas do planetas são elipses, a trajetória dos foguetes balísticos são parábolas, os espelhos dos telescópios são parabólicos, etc.
Apolônio recebeu um apelido curioso de seus discípulos, o de Épsilon, em virtude de sua sala de aula ser designada pela letra grega épsilon. Podemos dizer que Apolônio, com a sua obra, deu um "fecho de ouro" na geometria grega. Mas ele ainda não seria o último; em seguida nos encontramos com um verdadeiro gênio — Arquimedes de Sirascusa.
Arquimedes — O "Newton" grego
Arquimedes nasceu na cidade de Siracusa no ano 287 a.C., descendente da família real. Embora da época tão remota podemos considerar Arquimedes como um moderno em pesamento. Realmente podemos equipará-lo com o genial físico e matemático inglês Isaac Newton.
Arquimedes não foi só matemático, mas também iventor. Seus inventos eram baseados no que hoje chamamos de máquinas simples — alavancas, roldanas, sarilhos. É famosa a sua afirmação (querendo ressaltar os efeitos de uma alvanca):
"Dai-me um ponto de apoio e eu moverei o mundo".
Arquimedes construiu muitos engenhos de guerra, através dos quais a sua cidade, Siracusa, conseguiu resistir às hostes romanas durante mais de dois anos. Sabe-se que Arquimedes incendiou e destruiu uma esquadra romana, usando espelhos parabólicas. Aida é sua descoberta o "parafuso sem fim", o qual utiliza para elevação da água.
Um problema onde Arquimedes mostrou toda a sua habilidade como matemático foi, sem dúvida, aquele para se calcular a àrea de um círculo de raio R.
Para isso ele usou um raciocínio que só mais tarde (1600 a 1700 d.C.) iria ser utilizado por Newton e Leibniz na invenção do cálculo infinitesimal.
Seja S a área do círculo. Dividimos tal círculo em número muito grande de partes iguais (por meio de triângulos). Obtemos assim um polígono cuja área A é menor que S (área do círculo). Coloquem-se agora tais triângulos sobre uma reta.
O segmento AB tem para medida um número que chamaremos de P. P é o menor que o comprimento de C da circunferência do círculo.
Com esta tira de triângulos podemos formar um "retângulo" de altura R (aproximadamente) e base 1/2P, obtido dobrando-a ao meio (para um número finito de triângulos, temos um paralelogramo).
A área desse "retângulo" é A e é menor que S.
A área de A se aproximará de S quanto maior for o número de divisões. Se o número n de divisões for infinito, a área A coincidirá com S e o comprimento P coincidira com c.
Um outro problema que sempre apaixonou Arquimedes, e que, segundo ele, era "o mais difícil", foi o de encontrar a relação entre o volume do cone, da esfera e do cilindro, um colocado dentro do outro (cone e cilindro equiláteros, inscrito e excrito na esfera)
Uma famosa descoberta de Arquimedes é o conhecido "Princípio de Arquimedes", da hidrostática, que diz:
" Todo corpo imerso em um fluido recebe deste um empuxo vertical (de baixo para cima) em intensidade igual ao volume deslocado do fluido".
Conta a lenda (narrada posteriormente pelo arquiteto romano vitrúvio) que Arquimedes descobriu tal princípio enquanto tomava banho, e que saiu gritando pelas ruas — "Eureka, Eureka! que quer dizer "Achei"!
Os egípcios criam os símbolos
Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam se dedicar a outras atividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores.
Como conseqüência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História. Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito. Você certamente já ouviu falar nas pirâmides do Egito. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio.
Como efetuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos em um osso? Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egito passaram a representar a quantidade de objetos de uma coleção através de desenhos – os símbolos. A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática. Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões. Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos. 3 + 5 = 8 Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos somando. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Contando com os egípcios
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no
Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número:
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Os papiros da Matemática egípcia
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios se baseia em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscou. O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1.858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Atualmente encontra-se no British Museum, de Londres. O Papiro de Moscou é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se atualmente em Moscou. Não se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efetuar todos os cálculos que envolviam números inteiros. Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efetuadas através de uma adição. Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:
Número de parcelas Resultado 1 9 2 18 4 36 8 72
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13 O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117 Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros. Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número. E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris... “... repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exata da perda.” Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos. O rio Nilo atravessa uma vasta planície. Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima de seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo de suas margens. Quando as águas baixam, deixam descobertas uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. Desde a Antigüidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Todos os anos, durante o mês de junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até setembro. Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor. Usavam cordas para fazer a medição. Havia uma unidade de medida assinada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas. No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário. Para representar os números fracionários, usavam frações.
As complicadas frações egípcias
Os egípcios interpretavam a fração somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as frações unitárias, isto é, com numerador igual a 1. Para escrever as frações unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador. As outras frações eram expressas através de uma soma de frações de numerador 1. Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as frações, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados. No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita freqüência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fracionários eram muito complicados. Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efetuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas sempre esbarravam em alguma dificuldade. Apenas por volta do século III a.C. começou a se formar um sistema de numeração bem mais prático e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
Contando com os romanos
De todas as civilizações da Antigüidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante. Seu centro era a cidade de Roma. Desde sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquistas de novos territórios. Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana. Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas. Como foi que os romanos conseguiram isso?
O sistema de numeração romano
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L C D M Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração? O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave: I tinha o valor 1. V valia 5. X representava 10 unidades. L indicava 50 unidades. C valia 100. D valia 500. M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2 XX = 10 + 10 = 20 XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4 IX = 9 porque 10 – 1 = 9 XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6 XXV = 25 porque 20 + 5 = 25 XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36 LX = 60 porque 50 + 10 = 60
Ao lermos o cartaz, ficamos sabendo que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor. M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
Os milhares Como você acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M. Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000. E os números maiores que 3.000? Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000. Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão. O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema. Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números. E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Afinal os nossos números
No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar de uma conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o fato de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
“Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”. A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente. A idéia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI. Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa. Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo. Até chegar aos números que você aprendeu a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante. Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos. Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que os árabes têm a ver com isso? E por que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 são chamados de algarismos?
Os árabes divulgam ao mundo os números hindus
Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809. Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma séria de guerras de conquista. E como prêmios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid. Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção. “Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”. Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época. Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamado Sobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus. Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu. Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo. São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismo indo-arábicos.
Os números racionais
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872 Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são chamados de números naturais. Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fracionários. Não havia mais necessidade de escrever um número fracionário por meio de uma adição de dois fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais. A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fracionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais. A descoberta de números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
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